دالة بولينوم – اسئلة ايجاد البارامتر

5379
24920

دالة كثيرة الحدود (بولينوم) – ايجاد البارامتر
سؤال :1
معطاه الدالة 𝑥 , 𝑦 = 𝑎𝑥2 – 12ومعطى ان ميل الدالة في النقطة التي فيها
.-
24 – = 𝑥 هو1
جد قيمة البارامتر 𝑎.
الحل: نحن نعلم ان ميل الدالة في نقطة معينة, هو عبارة عن قيمة مشتقة الدالة في
هذة النقطة, لذلك الترجمة الجبرية للمعطى هي: .
𝑦(-1) = -24
لذلك يجب ان نشتق الدالة اولا: , 𝑦= 2𝑎𝑥 – 12ثم نعوض 𝑥 = -1في
المشتقة لكي تتحقق المعادلة: .
𝑦(-1) = -24
𝑦
(-1) = 2𝑎 ∙ (-1) – 12 = -24 → 𝑎 = 6
سؤال :2
معطاه الدالة 𝑏𝑥 – , 𝑦 = 𝑎𝑥3ومعطى ان للدالة يوجد نقطة قصوى في النقطة
.
(-1,4)
جد قيمة البارامترات 𝑏 و 𝑎.
الحل: معطى ان النقطة ) (-1,4هي نقطة قصوى, اي نستنتج ان النقطة )(-1,4
موجودة على الدالة (تحقق معادلتها): 𝑦(-1) = 4وايضا ميل الدالة في هذة
النقطة يساوي صفر اي ان .
𝑦(-1) = 0
نحصل على معادلتين بمجهولين:
𝑦(-1) = 𝑎 ∙ (-1)3 – 𝑏 ∙ (-1) = 4 → -𝑎 + 𝑏 = 4
𝑦= 3𝑎𝑥2 – 𝑏 → 𝑦(-1) = 3𝑎(-1)2 – 𝑏 = 0 → 3𝑎 – 𝑏 = 0

{3𝑎𝑎 –+𝑏𝑏 ==04 𝑎 = 2 , 𝑏 = 6


سؤال :3
معطاه الدالة , 𝑓(𝑥) = -𝑥3 – 𝑎𝑥2ومعطى ان ميل الدالة في النقطة التي فيها
𝑥 = –
1 3
يساوي ميل الدالة في النقطة التي فيها 𝑥 = 1
2
.
جد قيمة البارامتر
𝑎.
الحل: نحن نعلم ان ميل الدالة في نقطة معينة, هو عبارة عن قيمة مشتقة الدالة في هذة النقطة,
لذلك الترجمة الجبرية للمعطيات هي:
).𝑓(- 1 3) = 𝑓(1 2
اي يجب ان نشتق الدالة اولا: 𝑎𝑥 , 𝑓(𝑥) = -3𝑥2 + 2ثم نعوض 𝑥 = – 1
3
و = 𝑥
1 2
في المشتقة , عندها نحصل على:
𝑓(- 1 3) = -3 ∙ (- 1 3)2 + 2𝑎 ∙ (- 1 3) 𝑓(1 2) = -3 ∙ (1 2)2 + 2𝑎 ∙ (1 2)
𝑓(- 1 3) = 𝑓(1 2) → -3 ∙ (- 1 3)2 + 2𝑎 ∙ (- 1 3) = -3 ∙ (1 2)2 + 2𝑎 ∙ (1 2) → 𝑎 = 0.25
سؤال :4
معطاه الدالة 𝑥 – , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥4 + 2𝑥3معلوم ان لهذة الدالة يوجد نفس الميل
في النقاط التي فيها
𝑥 = 1 , 𝑥 = – 1
2
.
جد قيمة البارامتر
𝑎.
الحل: للدالة يوجد نفس الميل في نقطتين مختلفتين, اي ان مشتقة الدالة في هاتين النقطتين
تحصل على نفس القيمة, يتحقق:
).𝑓(1) = 𝑓(- 1 2
اي يجب ان نشتق الدالة اولا: , 𝑓(𝑥) = 4𝑎𝑥3 + 6𝑥2 – 1ثم نعوض 𝑥 = 1و
𝑥 = –
1 2
في المشتقة , عندها نحصل على:
𝑓(1) = 4𝑎 ∙ (1)3 + 6 ∙ (1)2 – 1 𝑓(- 1 2) = 4𝑎 ∙ (- 1 2)3 + 6 ∙ (- 1 2)2 – 1
𝑓(1) = 𝑓(- 1 2) → 4𝑎 ∙ (1)3 + 6 ∙ (1)2 – 1 = 4𝑎 ∙ (- 1 2)3 + 6 ∙ (- 1 2)2 – 1 → 𝑎 = -1
سؤال :5
معطى ان المستقيم اللذي يمس الدالة, , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥5 + 3𝑥3 – 5𝑥2في النقطة
التي فيها
𝑥 = 1يعامد المستقيم 𝑦 = – 1
2
+ 5
4
.
جد قيمة البارامتر
𝑎.
الحل: في نقطة التماس يكون ميل الدالة مساوي لميل المماس اللذي يمس الدالة, اضافة لذلك عند تعامد
مستقيمين يتحقق: ميل احدهما يساوي مقلوب مضاد ميل المستقيم الاخر, اي يتحقق: .
𝑚1 ∙ 𝑚2 = -1
نرمز ب 𝑚1لميل المستقيم اللذي يمس الدالة (وهو غير معلوم) ونرمز ب 𝑚2لميل المستقيم المعامد له,
اي ان
𝑚2 = – 1
2
. لذلك يتحقق 𝑚1 ∙ 𝑚2 = -1 → 𝑚1 ∙ – 1
2
. = -1 → 𝑚1 = 2
الان نشتق الدالة: 𝑥 ,𝑓(𝑥) = 5𝑎𝑥4 + 9𝑥2 – 10حسب المعطيات يتحقق: ,𝑓(1) = 2
𝑓
(1) = 5𝑎 ∙ 14 + 9 ∙ 12 – 10 ∙ 1 = 2 → 𝑎 = 3
5
سؤال :6
معطى ان المستقيم 𝑏 + 𝑎𝑥 = 𝑦 يمس الدالة , 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1في
النقطة التي فيها
.𝑥 = -1
جد قيمة البارامترات 𝑏 و 𝑎.
الحل: في نقطة التماس يكون ميل الدالة مساوي لميل المماس اللذي يمس الدالة,
اي يتحقق:
𝑎 = ) . 𝑓(-1نشتق الدالة ونحصل على: , 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1الان نعوض
𝑥 = -1في المشتقة لكي نجد ميل الدالة ثم نساوي بين ميل الدالة وميل المستقيم, اي:

.𝑓(-1) = 2 ∙ (-1) + 1 = 𝑎 → 𝑎 = -1
الان بما ان المستقيم يمس الدالة في النقطة التي فيها 𝑥 = -1يتحقق ان الاحداثي 𝑦 للدالة وللمستقيم هو
نفس الاحداثي. اي يتحقق: ).𝑓(-1) = 𝑦(-1
𝑓(-1) = (-1)2 + (-1) + 1 𝑦(-1) = 𝑎 ∙ (-1) + 𝑏
𝑓(-1) = 𝑦(-1) (-1)2 + (-1) + 1 = 𝑎 ∙ (-1) + 𝑏

) → 𝑏 = 0وجدنا ان 1 = -𝑎 + 𝑏 → ( 𝑎 = -1
سؤال :7
معطى ان المستقيم 𝑏 + 𝑎𝑥 𝑦 = 5يمس الدالة 𝑓(𝑥) = 1
6
, 𝑥3 + 𝑎𝑥2 – 𝑥
في النقطة التي فيها .𝑥 = 1
جد قيمة البارامتر 𝑎.
الحل: في نقطة التماس يكون ميل الدالة مساوي لميل المماس اللذي يمس الدالة,
اي يتحقق:
𝑎 . 𝑓(1) = 5نشتق الدالة ونحصل على: 𝑓(𝑥) = 3
6
, 𝑥2 + 2𝑎𝑥 – 1الان
نعوض
𝑥 = 1في المشتقة لكي نجد ميل الدالة ثم نساوي بين ميل الدالة وميل المستقيم, اي:
𝑓(1) = 3
6
∙ (1)2 + 2𝑎 ∙ (1) – 1 = 5𝑎 → 𝑎 = – 1
6
.
سؤال :8
معطى ان ميل الدالة 𝑐 – , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥4 – 𝑏𝑥3في النقطتين
(1, -1), (- 1
2
,
5
16
) متساوي.
جد قيمة البارامترات
𝑐 , 𝑏 , 𝑎.
الحل: من المعطيات يمكن ان نستنتج ان النقطتين تحققان معادلة الدالة وان ميل الدالة في النقطتين
متساوي, اي يتحقق:
).𝑓 (- 1 2) = 16 5 , 𝑓(1) = -1 , 𝑓(1) = 𝑓(- 1 2
نشتق الدالة: 𝑓(𝑥) = 4𝑎𝑥3 – 3𝑏𝑥2الان نعوض النقاط التي فيها الميل متساوي,
𝑓(1) = 𝑓(- 1 2) → 4𝑎 ∙ (1)3 – 3𝑏 ∙ (1)2 = 4𝑎 ∙ (- 1 2)3 – 3𝑏 ∙ (- 1 2)2 → 2𝑎 = 𝑏
𝑓(1) = -1 → 𝑓(1) = 𝑎 ∙ (1)
4 – 𝑏 ∙ (1)3 – 𝑐 = -1 → 𝑎 – 𝑏 – 𝑐 = -1
𝑓 (- 1 2) = 16 5 → 𝑓 (- 1 2) = 𝑎 ∙ (- 1 2)4 – 𝑏 ∙ (- 1 2)3 – 𝑐 = 16 5 → 𝑎 + 2𝑏 – 16𝑐 = 5
من المعادلات الثلاث التي حصلنا عليها ينتج ان: . 𝑎 = 1 , 𝑏 = 2 , 𝑐 = 0
سؤال :9
معلوم ان ميل الدالة 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥5 + 1
2

𝑥 , في النقطة التي فيها 𝑥 = 0اصغر
ب 12مرة من ميلها في النقطة التي فيها .𝑥 = 1

جد قيمة البارامتر 𝑎.
الحل: من المعطيات نستنتج ان ).𝑓(1) = 12 ∙ 𝑓(0
نشتق الدالة: 𝑓(𝑥) = 5𝑎𝑥4 + 1
2
, ثم نعوض النقاط حسب المعادلة اعلاه, نحصل على:
𝑓(1) = 12 ∙ 𝑓(0) → 5𝑎 ∙ (1)4 + 1
2
= 12 ∙ (5𝑎 ∙ (0)4 + 1 2) → 𝑎 = 11 10
سؤال :10
معطاه الدالة 𝑎 = )𝑥(𝑓
3
𝑥3 + 𝑥2
4
+ 𝑥
8

1 3
, جد قيمة البارامتر 𝑎 التي يتحقق
فيها ان للدالة المعطاه توجد نقطة قصوى واحدة فقط.
الحل: في النقطة القصوى للدالة يجب ان يتحقق شرطين: الاول, مشتقة الدالة تساوي صفر: ,𝑓(𝑥) = 0
الثاني, ميل الدالة عن يمين النقطة مضاد لميل الدالة عن يسار النقطة ( موجب سالب او سالب موجب.)
نشتق الدالة:
𝑥 + 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2
2
+ 1
8
, ثم نساوي المشتقة لصفر, نحصل على:
𝑓(𝑥) = 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑥
, 2 + 1 8 = 0لكي نحصل على حل وحيد (نقطة قصوى واحدة فقط) يجب
ان تكون الدلتا تساوي صفر (لانها معادلة تربيعية) اي:
∆= 𝑏2 – 4𝑎𝑐 = 0 → (1 2)2 – 4𝑎 ∙ 1 8 = 0 → 𝑎 = 1 2
الان نعوض 𝑎 = 1
2
في المشتقة لكي نجد النقطة ونتحقق منها, هل هي قصوى ام لا؟
𝑓(𝑥) =
1 2
𝑥
2 + 𝑥
2 +
1 8
= 0 → 𝑥 = –
1 2

الان نفحص هل فعلا 𝑥 = – 1
2
هي نقطة قصوى؟ نفحص ذلك عن طريق تعويض نقاط اختبار في
المشتقة, نقطة قبل
𝑥 = – 1
2
ونقطة بعدها: نعوض النقاط 𝑥 = 0 , 𝑥 = -1في المشتقة:
𝑓(𝑥) =
1 2
𝑥
2 + 𝑥
2 +
1 8
→ 𝑓
(0) =
1 2
0
2 + 0
2 +
1 8
=
1 8
المشتقة موجبة
𝑓
(𝑥) =
1 2
𝑥
2 + 𝑥
2 +
1 8
→ 𝑓
(-1) =
1 2
(-1)
2 + (-1)
2 +
1 8
=
1 8
المشتقة موجبة
اي ان الدالة لا تغير تصرفها حول النقطة 𝑥 = – 1
2
(المشتقة لا تغير اشارتها) لذلك النقطة 𝑥 = – 1
2
ليست نقطة قصوى.
عند البحث عن حلول المعادلة
𝑥 + 𝑎𝑥2
2
+ 1
8
= 0كانت الفرضية ان 𝑎 ≠ 0لانة في حالة كان
𝑎 = 0لا يوجد لدينا معادلة تربيعية ولذلك لا توجد دلتا. اي ان الحل اعلاه هو عندما يتحقق .𝑎 ≠ 0
الان نفحص عندما يكون 𝑎 = 0نحصل على 𝑥 = )𝑥(𝑓
2 + 1 8نحل المعادلة :𝑓(𝑥) = 0
𝑓
(𝑥) = 0 →
𝑥 2
+
1 8
= 0 → 𝑥 = –
1 4
الان نفحص هل فعلا 𝑥 = – 1
4
هي نقطة قصوى؟ نفحص ذلك عن طريق تعويض نقاط اختبار في
المشتقة, نقطة قبل
𝑥 = – 1
4
ونقطة بعدها: نعوض النقاط 𝑥 = 0 , 𝑥 = -1في المشتقة:
𝑓(𝑥) =
𝑥 2
+
1 8
→ 𝑓
(0) =
0 2
+
1 8
=
1 8
المشتقة موجبة
𝑓
(𝑥) =
𝑥 2
+
1 8
→ 𝑓
(-1) =
(-1)
2 +
1 8
= –
3 8
المشتقة سالبة
اي ان الدالة تغير تصرفها حول النقطة 𝑥 = – 1
4
(المشتقة تغير اشارتها) لذلك النقطة 𝑥 = – 1
4
هي
نقطة قصوى. والقيمة
𝑎 = 0هي القيمة التي تحقق المطلوب في السؤال.

5379 COMMENTS

  1. You read it? Then XRumer and XEvil works!

    Want to post your text to 12.000.000 (12 MILLIONS!) websites? No problem – with new “XEvil 5.0 + XRumer 19.0.8” software complex!
    Blogs, forums, boards, shops, guestbooks, social networks – any engines with any captchas!
    XEvil also compatible with any SEO/SMM programms and scripts, and can accept captchas from any source. Just try it! 😉

    Regards, MashoBen6760

    P.S. Huge discounts are available (up to 50%!) for a short review about XEvil on any popular forum or platform. Just ask Official support for discount!

  2. Basketbol forumları, basketbolla ilgili konuları
    tartışmak için kullanılır. Bu forumlar Facebook, Instagram ve Reddit gibi platformlarda barındırılmaktadır.

    Basketbol, dünya çapında en popüler sporlardan biridir.
    Farklı ülkelerde oynayan binlerce basketbolcu var ve bu sayı
    her geçen gün artıyor. Sonuç olarak, basketbolla ilgili görüşlerini çevrimiçi ortamda
    diğer taraftarlarla paylaşmak isteyen kişilere ihtiyaç duyulmaktadır.

    Forum AMK