Home Blog

بحث دالة بولينوم – سؤال 1

863

بحث دالة كثيرة الحدود (بولينوم)
ابحث الدالة:
𝒚 = 𝒙𝟐 – 𝟐𝒙 – 𝟑
.1مجال التعريف:
الدالة معرفة لكل 𝑥.
.2نقاط التقاطع مع المحاور:
تقاطع الدالة مع محور 𝑥 نعوض : 𝑦 = 0
0 = 𝑥2 – 2𝑥 – 3 = (𝑥 – 3) ∙ (𝑥 + 1) = 0 → 𝑥 = 3 , 𝑥 = -1
لذلك نقاط التقاطع مع محور 𝑥 هي ).(3,0) , (-1,0
تقاطع الدالة مع محور 𝑦 نعوض : 𝑥 = 0
𝑦 = 02 – 2 ∙ 0 – 3 = -3 → 𝑦 = -3
لذلك نقاط التقاطع مع محور 𝑦 هي: ).(0, -3
.3نقاط قصوى وتحديد نوعها (:)Max/Min
نشتق الدالة: 𝑦= 2𝑥 – 2
نساوي المشتقة لصفر ثم نحل المعادلة التي تنتج:
𝑦= 0 → 2𝑥 – 2 = 0 → 𝑥 = 1
نعوض 𝑥 = 1في الدالة لكي نجد الاحداثي 𝑦:
𝑦 = 12 – 2 ∙ 1 – 3 = -4 → (1, -4) نقطة شك
نبني الجدول لكي نحدد نوع النقطة (وايضا لايجاد مجالات التصاعد والتنازل):

نقطة اختبار
𝑥 = 2
نقطة شك
𝑥 = 1
نقطة اختبار
𝑥 = 0
نعوض نقاط الاختبار في المشتقة
+ اشارة المشتقة )𝑋(𝑓
تصرف الدالة )𝑋(𝑓
) Min (1, -4استنتاج عن الدالة )𝑋(𝑓


يمكن ايضا ان نفحص نوع النقطة القصوى عن طريق المشتقة الثانية:
𝑦′′(1) = 2 > 0 → Min (1, -4)
نقاط قصوى مطلقة: يمكن ان نستنتج ان للدالة يوجد نقطة قصوى مطلقة وحيدة, وهي
نهاية صغرى مطلقة,
) Min (1, -4لان الاحداثي 𝑦 فيها هو الاصغر على الاطلاق
في كل مجال تعريف الدالة. لا يوجد نقاط تحت هذة النقطة. ونستنتج ايضا ان للدالة لا
يوجد نقطة نهاية عظمى مطلقة, لان قيمها من الاعلى غير محدودة (قيم
𝑦 غير
محدودة).
.4مجالات تصاعد ومجالات تنازل الدالة:
نستنتج المجالات من الجدول اعلاه:
مجال التصاعد: .
𝑥 > 1مجال التنازل . 𝑥 < 1
.5مجالات موجبة ومجالات سالبة:
نعوض في الدالة 𝑦 = 0لكي نجد النقاط الصفرية للدالة: لقد وجدنا النقاط الصفرية
في بند
2ووجدنا انها: , 𝑥 = 3 , 𝑥 = -1نضع هذة النقاط على محور 𝑥 ثم نختار
نقاط اختبار مناسبة, نعوضها في الدالة ونحدد اشارة الدالة:
لذلك نستنتج ان: المجال الموجب هو: .
𝑥 > 3 , 𝑥 < -1
المجال السالب هو: . -1 < 𝑥 < 3

-1 3

X
-2 0 4
اشارة الدالة (موجب/سالب)
نقاط اختبار (نعوضها في الدالة)

.6رسم بياني تقريبي:
حسب البنود السابقة الرسم البياني التقريبي للدالة هو:
X
Y
Min

مشتقة الدالة – دالة البولينوم

2021

مشتقة الدالة
مشتقة الدالة )𝑥(𝑓, هي عبارة عن دالة تعبر عن كل ميول الدالة الممكنة (في حال
كان الميل معرف) ويرمز لها ب
)𝑥(𝑓 وتسمى ايضا دالة المشتقة الاولى للدالة
)𝑥(𝑓, للدالة يمكن ان يكون عدد لا نهائي من المشتقات مثلا, )𝑥(′′𝑓 تسمى دالة
المشتقة الثانية للدالة
)𝑥(𝑓 (والمشتقة الاولى للمشتقة الاولى, )𝑥(𝑓,) )𝑥(′′′𝑓
تسمى دالة المشتقة الثالثة للدالة )𝑥(𝑓 , وهكذا….. خلال دراستنا نتعامل فقط مع
المشتقة الاولى (والمشتقة الثانية في حال طلب منا ذلك.)
المماس للدالة
)𝑥(𝑓 في نقطة معينة: هو مستقيم له نقطة مشتركة مع الدالة (نقطة
تماس او تقاطع,) ميلة يساوي لميل الدالة في نقطة التماس. اذا كان معطى ان
المستقيم
𝑏 + 𝑚𝑥 = 𝑦 هو مماس للدالة )𝑥(𝑓 في النقطة ) (𝑥1, 𝑦1يتحقق :
𝑚 = )( 𝑓(𝑥1في حال كانت مشتقة الدالة معرفة.)
دالة كثيرة الحدود (البولينوم): هي عبارة عن مجموع دوال قوة ذوات اسس طبيعية
(العدد الطبيعي: هو عدد صحيح غير سالب) من الصورة:
-𝑛𝑎 + 𝑛𝑥𝑛𝑎 = )𝑥(𝑝 حيث ان1𝑥𝑛-1 + 𝑎𝑛-2𝑥𝑛-2 + ⋯ 𝑎1𝑥1 + 𝑎0
} {𝑎𝑛, 𝑎𝑛-1,𝑎𝑛-2 … , 𝑎1, 𝑎0هي اعداد حقيقية (الاعداد الحقيقية: هي الاعداد
التي نعرفها).

قوانين الاشتقاق (البولينوم)

شرح مثال المشتقة الدالة
الدالة
𝑦 = 4
هي عبارة عن
خط مستقيم
موازي لمحور
𝑥 اي ان ميلة
يساوي .
0
𝑦 = 4
𝑦
= 0
𝑦 = 𝑐 𝑦= 0
الدالة
𝑦 = 𝑥2
هي دالة
تربيعية, الدالة
تكون تصاعدية
وتكون ايضا
تنازلية لذلك
ميلها ليس ثابت
وهو عبارة عن
دالة تعبر عن
كل الميول
الممكنة.
𝑦 = 𝑥2
𝑦= 2 ∙ 𝑥2-1
𝑦 = 𝑥𝑛 𝑦= 𝑛 ∙ 𝑥𝑛-1
الدالة ليست
ثابتة ولذلك
مشتقتها عبارة
عن دالة تتغير
حسب النقاط
المختلفة
𝑦 =
1 2
∙ 𝑥
7
𝑦=
1 2
∙ 7 ∙ 𝑥
7-1
𝑦 = 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) 𝑦= 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥)
انظر الشرح
السابق
𝑦 = 𝑥3 + 𝑥6
𝑦= 3 ∙ 𝑥3-1 + 6 ∙ 𝑥6-1
𝑦 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) 𝑦= 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)



بحث دالة بولينوم

577

بحث دالة كثيرة الحدود (بولينوم)
(دالة عامة او دالة بمجال محدد)
دالة كثيرة الحدود (البولينوم): هي عبارة عن مجموع دوال قوة ذوات اسس طبيعية
(العدد الطبيعي: هو عدد صحيح غير سالب) من الصورة:
-𝑛𝑎 + 𝑛𝑥𝑛𝑎 = )𝑥(𝑝 حيث ان1𝑥𝑛-1 + 𝑎𝑛-2𝑥𝑛-2 + ⋯ 𝑎1𝑥1 + 𝑎0
} {𝑎𝑛, 𝑎𝑛-1,𝑎𝑛-2 … , 𝑎1, 𝑎0هي اعداد حقيقية (الاعداد الحقيقية: هي الاعداد
التي نعرفها.)
.1مجال التعريف:
دالة البولينوم معرفة لكل
𝑥 (اذا كان المجال محدد فان مجال تعريف الدالة هو
المجال المحدد).
قبل ان تكمل بحث الدالة تأكد من ان مجال التعريف صحيح, ثم بعد ذلك في
كل البنود التالية عليك ان تفحص اجاباتك وتتأكد من انها داخل مجال
التعريف, اي نقطة تكون خارج مجال التعريف عليك ان تحذفها .
.2نقاط التقاطع مع المحاور:
لكي نجد نقاط تقاطع الدالة مع محور
𝑥 نعوض 𝑦 = 0في الدالة ونحل المعادلة
التي تنتج. لا تنسى كتابة الاجابة على شكل نقطة, اي بالصورة التالية
).(𝑥, 0
(في الحالة التي يكون فيها الرسم معطى مع التفاصيل يمكن الاعتماد على
الرسم.)
لكي نجد نقطة تقاطع الدالة مع محور
𝑦 نعوض 𝑥 = 0في الدالة ونحل المعادلة
التي تنتج. لا تنسى كتابة الاجابة على شكل نقطة, اي بالصورة التالية
)𝑦 ,.(0
(في الحالة التي يكون فيها الرسم معطى مع التفاصيل يمكن الاعتماد على
الرسم.)

.3دالة زوجية / دالة فردية / دالة ليست زوجية وليست فردية:

الدالة الفردية الدالة الزوجية
يجب ان يكون مجال التعريف عن يمين وعن
يسار محور
𝑦 متطابق (القيم التي تكون فيها
الدالة معرفة من اليمين تكون ايضا معرفة في
القيم المضادة لها من اليسار).
يجب ان يكون مجال التعريف عن يمين وعن
يسار محور
𝑦 متطابق (القيم التي تكون فيها
الدالة معرفة من اليمين تكون ايضا معرفة
في القيم المضادة لها من اليسار).
مجال التعريف
)𝑥(𝑓- = )𝑥-(𝑓 )𝑥(𝑓 = )𝑥-(𝑓 التمثيل الجبري
نحصل على رسمها الموجود على يسار محور 𝑦
عن طريق انعكاس مزدوج لرسمها الموجود عن
يمين محور
𝑦 – انعكاس عامودي ثم افقي او
العكس. (او عن طريق دوران الرسم الموجود
عن يمين المحور
𝑦 ب 180درجة حول اصل
المحاور.
رسمها الموجود عن يمين محور 𝑦 مطابق
لرسمها الموجود عن يسار محور
𝑦 (محور
𝑦 هو محور تماثل للدالة).
التمثيل البياني
𝑦 = 𝑥2 𝑦 = 𝑥3 مثال
الدالة التي لا تحقق الشروط الكاملة لاي من الامكانيات اعلاه تسمى دالة ليست زوجية وليست فردية.
الدالة الوحيدة التي تكون زوجية وفردية في نفس الوقت هي الدالة 𝑦 = 0

.4نقاط قصوى وتحديد نوعها (.)Max/Min
النقاط القصوى الداخلية للدالة: هي النقاط التي تتحول فيها الدالة من مجال
تصاعدي لمجال تنازلي او العكس, وهي ايضا النقاط التي تكون فيها المشتقة
مساوية لصفر حيث تتحول فيها المشتقة من مجال موجب لمجال سالب.
لكي نجد النقاط القصوى الداخلية للدالة يجب ان نشتق الدالة, ثم نحل المعادلة
التالية
𝑓(𝑋) = 0الحلول التي تنتج هي عبارة عن نقاط شك , يجب
فحصها لكي نتاكد هل هي نقاط قصوى ام لا, عملية الفحص تتم بطريقيتين:
طريقة الجدول او المشتقة الثانية (نختار الطريقة التي تناسب متطلبات
السؤال.)
النقاط القصوى في طرف مجال الدالة: اذا كانت الدالة معطاه في مجال مغلق
او نصف مغلق فان النقاط الموجودة في طرف المجال وهي تابعة للمجال هي
نقاط قصوى نحدد نوعها حسب الجدول.
النقاط القصوى المطلقة: يتم تحديدها بعد ايجاد كل انواع النقاط القصوى,
وهي عبارة عن النقاط التي فيها الاحداثي
𝑦 هو الاكبر او الاصغر (حسب
المطلوب) من بين النقاط القصوى من نفس النوع ( .)Max/Minتوجد
حالات لا يوجد فيها نقاط قصوى مطلقة وهي الحالات التي لا يمكن فيها
تحديد اكبر / اصغر قيمة
𝑦 ممكنة للدالة المعطاه.
يمكن تحديد كل انواع النقاط القصوى التي تم ذكرها اعلاه من خلال الرسم
البياني للدالة في حال كانت المعطيات كافية. كما ويمكن الاستعانة برسم دالة
المشتقة لتحديد النقاط القصوى الداخلية للدالة بوجود معطيات كافية.
الجدول: نبني الجدول بالشكل التالي:

نقطة طرف/شك نقطة اختبار نقطة شك/طرف نقطة اختبار
/+- /+- اشارة المشتقة )𝑋(𝑓
تصاعدي/تنازلي تصاعدي/تنازلي تصرف الدالة )𝑋(𝑓
Max/Min Max/Min استنتاج عن الدالة )𝑋(𝑓

نقاط الشك هي النقاط التي وجدناها عند حل المعادلة ( 𝑓(𝑋) = 0نقاط
الطرف هي نقاط موجودة في طرف مجال التعريف في حال كان المجال
محدد), نقاط الاختبار هي نقاط نختارها حسب نقاط الشك التي حصلنا عليها,
يتم تعويض نقاط الاختبار في المشتقة .
بعد تحديد احداثيات
𝑥 للنقاط القصوى, نعوضها في الدالة لكي نجد الاحداثي
𝑦 , ثم نكتب النقطة بالصورة الصحيحة, اي بالصورة : )𝑦 ,𝑥(.
في حال عدم وجود نقاط شك وعدم وجود نقاط طرف, نعوض في الجدول
فقط نقطة اختبار لكي نحدد تصرف الدالة (تصاعدي تنازلي.)
.
5مجالات تصاعد ومجالات تنازل الدالة:
المجالات التصاعدية للدالة هي المجالات التي تكون فيها المشتقة موجبة (ميل
الدالة موجب) والمجالات السالبة هي المجالات التي تكون فيها المشتقة سالبة
(ميل الدالة سالب.)
هذة المجالات يتم استنتاجها من الجدول في البند السابق.
في حال كان رسم الدالة او رسم المشتقة معطى مع التفاصيل يمكن ان نستنتج
هذة المجالات من الرسم في حال كانت المعطيات في الرسم كافية.
.
6مجالات موجبة ومجالات سالبة:
لكي نحدد المجالات الموجبة والمجالات السالبة للدالة نساوي الدالة لصفر, اي
نعوض في الدالة
𝑦 = 0ثم نحل المعادلة التي تنتج, الحلول التي نحصل
عليها نعوضها على محور
𝑥 بالترتيب الصحيح (ونعوض ايضا نقاط طرف
المجال), ثم نختار بينها نقاط اختبار (في حال عدم وجود نقاط شك ونقاط
طرف, نعوض في الدالة نقطة اختبار واحدة وحسبها نحدد هل الدالة موجبة
ام سالبة).
نعوض نقاط الاختبار في الدالة ونفحص هل القيمة التي حصلنا عليها موجبة
ام سالبة, وهكذا نحدد المجالات الموجبة والمجالات السالبة للدالة.
.
7رسم بياني تقريبي:
الرسم البياني للدالة يكون استنتاجي استنادا على خطوات الحل السابقة.
.
8بحث تفكيري:
في هذة البنود بشكل عام يتم سؤالنا عن الدالة التي بحثناها في البنود السابقة
مع تغييرات بسيطة على الدالة , مثل: ازاحة الدالة عاموديا او/ و افقيا, تربيع
الدالة, ضرب الدالة بعدد ثابت, او اضافة معطيات اخرى, الاجابة على هذة
البنود بشكل عام تكون استنتاج من البحث السابق (انظر ملف البحث
التفكيري – الاستنتاجي).


بحث دالة بولينوم – سؤال 2

782

بحث دالة كثيرة الحدود (بولينوم)
ابحث الدالة:
𝒚 = 𝟐𝒙𝟑 – 𝟔𝒙𝟐
.1مجال التعريف:
الدالة معرفة لكل 𝑥.
.2نقاط التقاطع مع المحاور:
تقاطع الدالة مع محور 𝑥 نعوض : 𝑦 = 0
0 = 2𝑥3 – 6𝑥2 = 𝑥2 ∙ (2𝑥 – 6) = 0 → 𝑥 = 0 , 𝑥 = 3
لذلك نقاط التقاطع مع محور 𝑥 هي ).(3,0) , (0,0
تقاطع الدالة مع محور 𝑦 نعوض : 𝑥 = 0
𝑦 = 2 ∙ 03 – 6 ∙ 02 = 0 → 𝑦 = 0
لذلك نقاط التقاطع مع محور 𝑦 هي: ).(0,0
.3نقاط قصوى وتحديد نوعها (:)Max/Min
نشتق الدالة: 𝑥𝑦= 6𝑥2 – 12
نساوي المشتقة لصفر ثم نحل المعادلة التي تنتج:
𝑦= 0 → 6𝑥2 – 12𝑥 = 0 → 𝑥 ∙ (6𝑥 – 12) = 0 → 𝑥 = 0 , 𝑥 = 2
نعوض 𝑥 = 2و 𝑥 = 0في الدالة لكي نجد الاحداثي 𝑦:
𝑦 = 2 ∙ 03 – 6 ∙ 02 = 0 → (0,0) نقطة شك
𝑦 = 2 ∙ 23 – 6 ∙ 22 = -8 → (2, -8) نقطة شك
نبني الجدول لكي نحدد نوع النقطة (وايضا لايجاد مجالات التصاعد والتنازل:)

نقطة اختبار
𝑥 = 3
نقطة شك
𝑥 = 2
نقطة اختبار
𝑥 = 1
نقطة شك
𝑥 = 0
نقطة اختبار
𝑥 = -1
نعوض نقاط الاختبار في
المشتقة
+ + اشارة المشتقة )𝑋(𝑓
تصرف الدالة )𝑋(𝑓
) Min (2, -8 Max (0,0) استنتاج عن الدالة )𝑋(𝑓


يمكن ايضا ان نفحص نوع النقاط القصوى عن طريق المشتقة الثانية: 𝑦′′ = 12𝑥 – 12
𝑦′′(0) = 12 ∙ 0 – 12 = -12 < 0 → Max (0,0)
𝑦
′′(2) = 12 ∙ 2 – 12 = 12 > 0 → Min (2, -8)
نقاط قصوى مطلقة: يمكن ان نستنتج ان للدالة لا يوجد نقاط قصوى مطلقة, لان قيمها
من الاعلى غير محدودة (قيم
𝑦 غير محدودة), و قيمها من الاسفل غير محدودة (قيم 𝑦
غير محدودة).
.4مجالات تصاعد ومجالات تنازل الدالة:
نستنتج المجالات من الجدول اعلاه:
مجال التصاعد: .
𝑥 < 0 , 𝑥 > 2مجال التنازل . 0 < 𝑥 < 2
.5مجالات موجبة ومجالات سالبة:
نعوض في الدالة 𝑦 = 0لكي نجد النقاط الصفرية للدالة: لقد وجدنا النقاط الصفرية
في بند
2ووجدنا انها: , 𝑥 = 3 , 𝑥 = 0نضع هذة النقاط على محور 𝑥 ثم نختار نقاط
اختبار مناسبة, نعوضها في الدالة ونحدد اشارة الدالة:
لذلك نستنتج ان: المجال الموجب هو: .
𝑥 > 3
المجال السالب هو: .𝑥 < 0 , 0 < 𝑥 < 3

0 3

X
-1 1 4
اشارة الدالة (موجب/سالب)
نقاط اختبار (نعوضها في الدالة)

.6رسم بياني تقريبي:
حسب البنود السابقة الرسم البياني التقريبي للدالة هو:
X
Y
Min
Max

بحث دالة بولينوم – سؤال 3

1017

بحث دالة كثيرة الحدود (بولينوم)
ابحث الدالة:
𝒚 = 𝟎. 𝟓𝒙𝟒 – 𝟖𝒙𝟐
.1مجال التعريف:
الدالة معرفة لكل 𝑥.
.2نقاط التقاطع مع المحاور:
تقاطع الدالة مع محور 𝑥 نعوض : 𝑦 = 0
0 = 0.5𝑥4 – 8𝑥2 = 𝑥2 ∙ (0.5𝑥2 – 8) = 0 → 𝑥 = 0 , 𝑥 = -4 , 𝑥 = 4
لذلك نقاط التقاطع مع محور 𝑥 هي ).(-4,0) , (4,0) , (0,0
تقاطع الدالة مع محور 𝑦 نعوض : 𝑥 = 0
𝑦 = 0.5 ∙ 04 – 8 ∙ 02 = 0 → 𝑦 = 0
لذلك نقاط التقاطع مع محور 𝑦 هي: ).(0,0
.3نقاط قصوى وتحديد نوعها (:)Max/Min
نشتق الدالة: 𝑥𝑦= 2𝑥3 – 16
نساوي المشتقة لصفر ثم نحل المعادلة التي تنتج:
𝑦= 0 → 2𝑥3 – 16𝑥 = 0 → 𝑥 ∙ (2𝑥2 – 16) = 0 → 𝑥 = 0 , 𝑥 = -2.828 , 𝑥 = 2.828
نعوض 𝑥 = 0 , 𝑥 = -2.828 , 𝑥 = 2.828في الدالة لكي نجد الاحداثي 𝑦:
𝑦 = 0.5 ∙ 04 – 8 ∙ 02 = 0 → (0,0) نقطة شك
𝑦 = 0.5 ∙ 2.8284 – 8 ∙ 2.8282 = -32 → (2.828, -32) نقطة شك
𝑦 = 0.5 ∙ (-2.828)4 – 8 ∙ (-2.828)2 = -32 → (-2.828, -32) نقطة شك
نبني الجدول لكي نحدد نوع النقطة (وايضا لايجاد مجالات التصاعد والتنازل:)

نقطة
اختبار
𝑥 = 3
نقطة شك
𝑥 = 2.828
نقطة اختبار
𝑥 = 1
نقطة شك
𝑥 = 0
نقطة
اختبار
𝑥 = -1
نقطة شك
𝑥 = -2.828
نقطة اختبار
𝑥 = -3
نعوض نقاط الاختبار في
المشتقة
+ + اشارة المشتقة )𝑋(𝑓
تصرف الدالة )𝑋(𝑓
Min
(2.828, -32)
Max
(0,0)
Min
(-2.828, -32)
استنتاج عن الدالة )𝑋(𝑓


يمكن ايضا ان نفحص نوع النقاط القصوى عن طريق المشتقة الثانية: 𝑦′′ = 6𝑥2 – 16
𝑦′′(0) = 6 ∙ 02 – 16 = -16 < 0 → Max (0,0)
𝑦′′(2.828) = 6 ∙ 2.8282 – 16 = 32 > 0 → Min (2.828, -32)
𝑦′′(-2.828) = 6 ∙ (-2.828)2 – 16 = 32 > 0 → Min (-2.828, -32)
نقاط قصوى مطلقة: يمكن ان نستنتج ان للدالة يوجد نقاط صغرى مطلقة وهي:
) Min (-2.828, -32) , Min (2.828, -32لان الدالة تحصل على اصغر قيمة
ممكنة لها في هذة النقاط . لا يوجد نقاط عظمى مطلقة للدالة لان قيمها من الاعلى غير
محدودة (قيم
𝑦 غير محدودة).
.4مجالات تصاعد ومجالات تنازل الدالة:
نستنتج المجالات من الجدول اعلاه:
مجال التنازل: .
𝑥 < -2.828 , 0 < 𝑥 < 2.828
مجال التصاعد: . -2.828 < 𝑥 < 0 , 𝑥 > 2.828
.5مجالات موجبة ومجالات سالبة:
نعوض في الدالة 𝑦 = 0لكي نجد النقاط الصفرية للدالة: لقد وجدنا النقاط الصفرية
في بند
2ووجدنا انها: , 𝑥 = 0 , 𝑥 = 4 , 𝑥 = -4نضع هذة النقاط على محور 𝑥 ثم
نختار نقاط اختبار مناسبة, نعوضها في الدالة ونحدد اشارة الدالة:
لذلك نستنتج ان: المجال الموجب هو: .
𝑥 < -4 , 𝑥 > 4
المجال السالب هو: .-4 < 𝑥 < 0 , 0 < 𝑥 < 4

-4 0 4

X
-5 -1 1
اشارة الدالة (موجب/سالب)
نقاط اختبار (نعوضها في الدالة)
5
.6رسم بياني تقريبي:
حسب البنود السابقة الرسم البياني التقريبي للدالة هو:
X
Y
Min
Max
Min


بحث دالة بولينوم – سؤال 4

1987

بحث دالة كثيرة الحدود (بولينوم)
ابحث الدالة التالية في المجال:
]𝟒 ,𝟒-[ , اي في المجال 𝟒 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒-
𝒚 = 𝒙
𝟐 + 𝟒𝒙 – 𝟓
.1مجال التعريف:
الدالة معرفة في المجال 𝟒 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒- .
.2نقاط التقاطع مع المحاور:
تقاطع الدالة مع محور 𝑥 نعوض : 𝑦 = 0
0 = 𝑥2 + 4𝑥 – 5 = (𝑥 – 1) ∙ (𝑥 + 5) = 0 → 𝑥 = 1 , 𝑥 = -5
𝑥 = -5
خارج مجال التعريف لذلك نقطة التقاطع مع محور 𝑥 هي ).(1,0
تقاطع الدالة مع محور 𝑦 نعوض ( 𝑥 = 0مسموح لان 𝑥 = 0داخل مجال التعريف) :
𝑦 = 02 + 4 ∙ 0 – 5 = -5 → 𝑦 = -5
لذلك نقاط التقاطع مع محور 𝑦 هي: ).(0, -5
.3نقاط قصوى وتحديد نوعها (:)Max/Min
نشتق الدالة: 𝑦= 2𝑥 + 4
نساوي المشتقة لصفر ثم نحل المعادلة التي تنتج:
𝑦= 0 → 2𝑥 + 4 = 0 → 𝑥 = -2
نعوض 𝑥 = -2في الدالة لكي نجد الاحداثي 𝑦:
𝑦 = (-2)2 + 4 ∙ (-2) – 5 = -9 → (-2, -9) نقطة شك
نبني الجدول لكي نحدد نوع النقاط القصوى (وايضا لايجاد مجالات التصاعد والتنازل):

نقطة طرف
𝑥 = 4
نقطة اختبار
𝑥 = 0
نقطة شك
𝑥 = -2
نقطة اختبار
𝑥 = -3
نقطة طرف
𝑥 = -4
نعوض نقاط الاختبار
في المشتقة
+ اشارة المشتقة
𝑓(𝑋)
تصرف الدالة )𝑋(𝑓
استنتاج عن الدالة
𝑓(𝑋)
Max (-4, -5) Min (-2, -9) Max (4,27)


يمكن ايضا ان نفحص نوع النقطة القصوى الداخلية عن طريق المشتقة الثانية:
𝑦′′(-2) = 2 > 0 → Min (-2, -9)
نقاط قصوى مطلقة: يمكن ان نستنتج ان للدالة يوجد نقطة صغرى مطلقة وحيدة وهي,
) Min (1, -4لان الاحداثي 𝑦 فيها هو الاصغر على الاطلاق في كل مجال تعريف
الدالة. وايضا يمكن ان نستنتج ان للدالة يوجد نقطة عظمى مطلقة وحيدة وهي,
) Max (4,27لان الاحداثي 𝑦 فيها هو الاكبر على الاطلاق في كل مجال تعريف
الدالة.
.4مجالات تصاعد ومجالات تنازل الدالة:
نستنتج المجالات من الجدول اعلاه:
مجال التصاعد: .
-2 < 𝑥 < 4مجال التنازل . -4 < 𝑥 < -2
.5مجالات موجبة ومجالات سالبة:
نعوض في الدالة 𝑦 = 0لكي نجد النقاط الصفرية للدالة: لقد وجدنا النقاط الصفرية
في بند
2ووجدنا انها: , 𝑥 = 1نضع هذة النقطة ونقاط الطرف على محور 𝑥 ثم
نختار نقاط اختبار مناسبة, نعوضها في الدالة ونحدد اشارة الدالة:
لذلك نستنتج ان: المجال الموجب هو: .
1 < 𝑥 < 4
المجال السالب هو: . -4 < 𝑥 < 1

-4 1

X
0 2
اشارة الدالة (موجب/سالب)
نقاط اختبار (نعوضها في الدالة)
4
.6رسم بياني تقريبي:
حسب البنود السابقة الرسم البياني التقريبي للدالة هو: نقاط الطرف التابعة للمجال تحدد
بدائرة ممتلئة والغير تابعة للمجال تحدد بدائرة فارغة.
X
Y
Min
Max
Max


بحث دالة بولينوم – سؤال 5

888

بحث دالة كثيرة الحدود (بولينوم)
ابحث الدالة التالية في المجال:
]𝟒 ,𝟒-( , اي في المجال 𝟒 ≤ 𝒙 < 𝟒-
𝒚 = 𝒙
𝟐 + 𝟒𝒙 – 𝟓
.1مجال التعريف:
الدالة معرفة في المجال 𝟒 ≤ 𝒙 < 𝟒- .
.2نقاط التقاطع مع المحاور:
تقاطع الدالة مع محور 𝑥 نعوض : 𝑦 = 0
0 = 𝑥2 + 4𝑥 – 5 = (𝑥 – 1) ∙ (𝑥 + 5) = 0 → 𝑥 = 1 , 𝑥 = -5
𝑥 = -5
خارج مجال التعريف لذلك نقطة التقاطع مع محور 𝑥 هي ).(1,0
تقاطع الدالة مع محور 𝑦 نعوض ( 𝑥 = 0مسموح لان 𝑥 = 0داخل مجال التعريف) :
𝑦 = 02 + 4 ∙ 0 – 5 = -5 → 𝑦 = -5
لذلك نقاط التقاطع مع محور 𝑦 هي: ).(0, -5
.3نقاط قصوى وتحديد نوعها (:)Max/Min
نشتق الدالة: 𝑦= 2𝑥 + 4
نساوي المشتقة لصفر ثم نحل المعادلة التي تنتج:
𝑦= 0 → 2𝑥 + 4 = 0 → 𝑥 = -2
نعوض 𝑥 = -2في الدالة لكي نجد الاحداثي 𝑦:
𝑦 = (-2)2 + 4 ∙ (-2) – 5 = -9 → (-2, -9) نقطة شك
نبني الجدول لكي نحدد نوع النقاط القصوى (وايضا لايجاد مجالات التصاعد والتنازل):

نقطة طرف
𝑥 = 4
نقطة اختبار
𝑥 = 0
نقطة شك
𝑥 = -2
نقطة اختبار
𝑥 = -3
نقطة طرف
𝑥 = -4
نعوض نقاط الاختبار
في المشتقة
+ اشارة المشتقة
𝑓(𝑋)
تصرف الدالة )𝑋(𝑓
) Max (4,27 Min (-2, -9) انتبة النقطة خارج
مجال التعريف
استنتاج عن الدالة
𝑓(𝑋)


يمكن ايضا ان نفحص نوع النقطة القصوى الداخلية عن طريق المشتقة الثانية:
𝑦′′(-2) = 2 > 0 → Min (-2, -9)
نقاط قصوى مطلقة: يمكن ان نستنتج ان للدالة يوجد نقطة صغرى مطلقة وحيدة وهي,
) Min (1, -4لان الاحداثي 𝑦 فيها هو الاصغر على الاطلاق في كل مجال تعريف
الدالة. وايضا يمكن ان نستنتج ان للدالة يوجد نقطة عظمى مطلقة وحيدة وهي,
) Max (4,27لان الاحداثي 𝑦 فيها هو الاكبر على الاطلاق في كل مجال تعريف
الدالة.
.4مجالات تصاعد ومجالات تنازل الدالة:
نستنتج المجالات من الجدول اعلاه:
مجال التصاعد: .
-2 < 𝑥 < 4مجال التنازل . -4 < 𝑥 < -2
.5مجالات موجبة ومجالات سالبة:
نعوض في الدالة 𝑦 = 0لكي نجد النقاط الصفرية للدالة: لقد وجدنا النقاط الصفرية
في بند
2ووجدنا انها: , 𝑥 = 1نضع هذة النقطة ونقاط الطرف على محور 𝑥 ثم
نختار نقاط اختبار مناسبة, نعوضها في الدالة ونحدد اشارة الدالة:
لذلك نستنتج ان: المجال الموجب هو: .
1 < 𝑥 < 4
المجال السالب هو: . -4 < 𝑥 < 1

-4 1

X
0 2
اشارة الدالة (موجب/سالب)
نقاط اختبار (نعوضها في الدالة)
4
.6رسم بياني تقريبي:
حسب البنود السابقة الرسم البياني التقريبي للدالة هو: نقاط الطرف التابعة للمجال تحدد
بدائرة ممتلئة والغير تابعة للمجال تحدد بدائرة فارغة.
X
Y
Min
Max


بحث دالة بولينوم – سؤال 6

6052

بحث دالة كثيرة الحدود (بولينوم)
ابحث الدالة التالية في المجال:
)𝟒 ,𝟒-( , اي في المجال 𝟒 < 𝒙 < 𝟒-
𝒚 = 𝒙
𝟐 + 𝟒𝒙 – 𝟓
.1مجال التعريف:
الدالة معرفة في المجال 𝟒 < 𝒙 < 𝟒- .
.2نقاط التقاطع مع المحاور:
تقاطع الدالة مع محور 𝑥 نعوض : 𝑦 = 0
0 = 𝑥2 + 4𝑥 – 5 = (𝑥 – 1) ∙ (𝑥 + 5) = 0 → 𝑥 = 1 , 𝑥 = -5
𝑥 = -5
خارج مجال التعريف لذلك نقطة التقاطع مع محور 𝑥 هي ).(1,0
تقاطع الدالة مع محور 𝑦 نعوض ( 𝑥 = 0مسموح لان 𝑥 = 0داخل مجال التعريف) :
𝑦 = 02 + 4 ∙ 0 – 5 = -5 → 𝑦 = -5
لذلك نقاط التقاطع مع محور 𝑦 هي: ).(0, -5
.3نقاط قصوى وتحديد نوعها (:)Max/Min
نشتق الدالة: 𝑦= 2𝑥 + 4
نساوي المشتقة لصفر ثم نحل المعادلة التي تنتج:
𝑦= 0 → 2𝑥 + 4 = 0 → 𝑥 = -2
نعوض 𝑥 = -2في الدالة لكي نجد الاحداثي 𝑦:
𝑦 = (-2)2 + 4 ∙ (-2) – 5 = -9 → (-2, -9) نقطة شك
نبني الجدول لكي نحدد نوع النقاط القصوى (وايضا لايجاد مجالات التصاعد والتنازل):

نقطة طرف
𝑥 = 4
نقطة اختبار
𝑥 = 0
نقطة شك
𝑥 = -2
نقطة اختبار
𝑥 = -3
نقطة طرف
𝑥 = -4
نعوض نقاط الاختبار
في المشتقة
+ اشارة المشتقة
𝑓(𝑋)
تصرف الدالة )𝑋(𝑓
انتبة النقطة خارج
مجال التعريف
) Min (-2, -9 انتبة النقطة خارج
مجال التعريف
استنتاج عن الدالة
𝑓(𝑋)


يمكن ايضا ان نفحص نوع النقطة القصوى الداخلية عن طريق المشتقة الثانية:
𝑦′′(-2) = 2 > 0 → Min (-2, -9)
نقاط قصوى مطلقة: يمكن ان نستنتج ان للدالة يوجد نقطة صغرى مطلقة وحيدة وهي,
) Min (1, -4لان الاحداثي 𝑦 فيها هو الاصغر على الاطلاق في كل مجال تعريف
الدالة. وايضا يمكن ان نستنتج ان للدالة لا يوجد نقطة عظمى مطلقة لان,
) (4,27خارج مجال تعريف, وهكذا لا يمكن ان نحدد اكبر احداثي 𝑦 فيها مجال
تعريف الدالة.
.4مجالات تصاعد ومجالات تنازل الدالة:
نستنتج المجالات من الجدول اعلاه:
مجال التصاعد: .
-2 < 𝑥 < 4مجال التنازل . -4 < 𝑥 < -2
.5مجالات موجبة ومجالات سالبة:
نعوض في الدالة 𝑦 = 0لكي نجد النقاط الصفرية للدالة: لقد وجدنا النقاط الصفرية
في بند
2ووجدنا انها: , 𝑥 = 1نضع هذة النقطة ونقاط الطرف على محور 𝑥 ثم
نختار نقاط اختبار مناسبة, نعوضها في الدالة ونحدد اشارة الدالة:
لذلك نستنتج ان: المجال الموجب هو: .
1 < 𝑥 < 4
المجال السالب هو: . -4 < 𝑥 < 1

-4 1

X
0 2
اشارة الدالة (موجب/سالب)
نقاط اختبار (نعوضها في الدالة)
4
.6رسم بياني تقريبي:
حسب البنود السابقة الرسم البياني التقريبي للدالة هو: نقاط الطرف التابعة للمجال تحدد
بدائرة ممتلئة والغير تابعة للمجال تحدد بدائرة فارغة.
X
Y
Min

بحث دالة بولينوم – سؤال 7

10896

بحث دالة كثيرة الحدود (بولينوم)
ابحث الدالة:
𝒚 = 𝒙𝟑
.1مجال التعريف:
الدالة معرفة لكل 𝑥.
.2نقاط التقاطع مع المحاور:
تقاطع الدالة مع محور 𝑥 نعوض : 𝑦 = 0
0 = 𝑥3 → 𝑥 = 0
لذلك نقاط التقاطع مع محور 𝑥 هي ).(0,0
تقاطع الدالة مع محور 𝑦 نعوض : 𝑥 = 0
𝑦 = 03 = 0 → 𝑦 = 0
لذلك نقاط التقاطع مع محور 𝑦 هي: ).(0,0
.3نقاط قصوى وتحديد نوعها (:)Max/Min
نشتق الدالة: 𝑦= 3𝑥2
نساوي المشتقة لصفر ثم نحل المعادلة التي تنتج:
𝑦= 0 → 3𝑥2 = 0 → 𝑥 = 0
نعوض 𝑥 = 0في الدالة لكي نجد الاحداثي 𝑦:
نقطة شك
)𝑦 = 03 = 0 → (0,0
نبني الجدول لكي نحدد نوع النقطة (وايضا لايجاد مجالات التصاعد والتنازل):

نقطة اختبار
𝑥 = 1
نقطة شك
𝑥 = 0
نقطة اختبار
𝑥 = -1
نعوض نقاط الاختبار في المشتقة
+ + اشارة المشتقة )𝑋(𝑓
تصرف الدالة )𝑋(𝑓
ليست نقطة قصوى (لان اشارة
المشتقة لا تتغير)
استنتاج عن الدالة )𝑋(𝑓


فحص نقطة الشك عن طريق المشتقة الثانية:
اي لا يمكن الاستنتاج
𝑦′′ = 6𝑥 → 𝑦′′(0) = 6 ∙ 0 = 0
نقاط قصوى مطلقة: يمكن ان نستنتج ان للدالة لا يوجد نقطة نهاية عظمى مطلقة ولا
نقطة نهاية صغرى مطلقة, لان قيمها من الاعلى ومن الاسفل غير محدودة (قيم
𝑦 غير
محدودة).
.4مجالات تصاعد ومجالات تنازل الدالة:
نستنتج المجالات من الجدول اعلاه:
مجال التصاعد: الدالة تصاعدية لكل .
xمجال التنازل: لا يوجد .
.5مجالات موجبة ومجالات سالبة:
نعوض في الدالة 𝑦 = 0لكي نجد النقاط الصفرية للدالة: لقد وجدنا النقاط الصفرية
في بند
2ووجدنا انها: , 𝑥 = 0نضع هذة النقاط على محور 𝑥 ثم نختار نقاط اختبار
مناسبة, نعوضها في الدالة ونحدد اشارة الدالة:
لذلك نستنتج ان: المجال الموجب هو: .
𝑥 > 0
المجال السالب هو: .𝑥 < 0

0

X
-1 1
اشارة الدالة (موجب/سالب)
نقاط اختبار (نعوضها في الدالة)

.6رسم بياني تقريبي:
حسب البنود السابقة الرسم البياني التقريبي للدالة هو:
X
Y


دالة بولينوم – اسئلة ايجاد البارامتر

5369

دالة كثيرة الحدود (بولينوم) – ايجاد البارامتر
سؤال :1
معطاه الدالة 𝑥 , 𝑦 = 𝑎𝑥2 – 12ومعطى ان ميل الدالة في النقطة التي فيها
.-
24 – = 𝑥 هو1
جد قيمة البارامتر 𝑎.
الحل: نحن نعلم ان ميل الدالة في نقطة معينة, هو عبارة عن قيمة مشتقة الدالة في
هذة النقطة, لذلك الترجمة الجبرية للمعطى هي: .
𝑦(-1) = -24
لذلك يجب ان نشتق الدالة اولا: , 𝑦= 2𝑎𝑥 – 12ثم نعوض 𝑥 = -1في
المشتقة لكي تتحقق المعادلة: .
𝑦(-1) = -24
𝑦
(-1) = 2𝑎 ∙ (-1) – 12 = -24 → 𝑎 = 6
سؤال :2
معطاه الدالة 𝑏𝑥 – , 𝑦 = 𝑎𝑥3ومعطى ان للدالة يوجد نقطة قصوى في النقطة
.
(-1,4)
جد قيمة البارامترات 𝑏 و 𝑎.
الحل: معطى ان النقطة ) (-1,4هي نقطة قصوى, اي نستنتج ان النقطة )(-1,4
موجودة على الدالة (تحقق معادلتها): 𝑦(-1) = 4وايضا ميل الدالة في هذة
النقطة يساوي صفر اي ان .
𝑦(-1) = 0
نحصل على معادلتين بمجهولين:
𝑦(-1) = 𝑎 ∙ (-1)3 – 𝑏 ∙ (-1) = 4 → -𝑎 + 𝑏 = 4
𝑦= 3𝑎𝑥2 – 𝑏 → 𝑦(-1) = 3𝑎(-1)2 – 𝑏 = 0 → 3𝑎 – 𝑏 = 0

{3𝑎𝑎 –+𝑏𝑏 ==04 𝑎 = 2 , 𝑏 = 6


سؤال :3
معطاه الدالة , 𝑓(𝑥) = -𝑥3 – 𝑎𝑥2ومعطى ان ميل الدالة في النقطة التي فيها
𝑥 = –
1 3
يساوي ميل الدالة في النقطة التي فيها 𝑥 = 1
2
.
جد قيمة البارامتر
𝑎.
الحل: نحن نعلم ان ميل الدالة في نقطة معينة, هو عبارة عن قيمة مشتقة الدالة في هذة النقطة,
لذلك الترجمة الجبرية للمعطيات هي:
).𝑓(- 1 3) = 𝑓(1 2
اي يجب ان نشتق الدالة اولا: 𝑎𝑥 , 𝑓(𝑥) = -3𝑥2 + 2ثم نعوض 𝑥 = – 1
3
و = 𝑥
1 2
في المشتقة , عندها نحصل على:
𝑓(- 1 3) = -3 ∙ (- 1 3)2 + 2𝑎 ∙ (- 1 3) 𝑓(1 2) = -3 ∙ (1 2)2 + 2𝑎 ∙ (1 2)
𝑓(- 1 3) = 𝑓(1 2) → -3 ∙ (- 1 3)2 + 2𝑎 ∙ (- 1 3) = -3 ∙ (1 2)2 + 2𝑎 ∙ (1 2) → 𝑎 = 0.25
سؤال :4
معطاه الدالة 𝑥 – , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥4 + 2𝑥3معلوم ان لهذة الدالة يوجد نفس الميل
في النقاط التي فيها
𝑥 = 1 , 𝑥 = – 1
2
.
جد قيمة البارامتر
𝑎.
الحل: للدالة يوجد نفس الميل في نقطتين مختلفتين, اي ان مشتقة الدالة في هاتين النقطتين
تحصل على نفس القيمة, يتحقق:
).𝑓(1) = 𝑓(- 1 2
اي يجب ان نشتق الدالة اولا: , 𝑓(𝑥) = 4𝑎𝑥3 + 6𝑥2 – 1ثم نعوض 𝑥 = 1و
𝑥 = –
1 2
في المشتقة , عندها نحصل على:
𝑓(1) = 4𝑎 ∙ (1)3 + 6 ∙ (1)2 – 1 𝑓(- 1 2) = 4𝑎 ∙ (- 1 2)3 + 6 ∙ (- 1 2)2 – 1
𝑓(1) = 𝑓(- 1 2) → 4𝑎 ∙ (1)3 + 6 ∙ (1)2 – 1 = 4𝑎 ∙ (- 1 2)3 + 6 ∙ (- 1 2)2 – 1 → 𝑎 = -1
سؤال :5
معطى ان المستقيم اللذي يمس الدالة, , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥5 + 3𝑥3 – 5𝑥2في النقطة
التي فيها
𝑥 = 1يعامد المستقيم 𝑦 = – 1
2
+ 5
4
.
جد قيمة البارامتر
𝑎.
الحل: في نقطة التماس يكون ميل الدالة مساوي لميل المماس اللذي يمس الدالة, اضافة لذلك عند تعامد
مستقيمين يتحقق: ميل احدهما يساوي مقلوب مضاد ميل المستقيم الاخر, اي يتحقق: .
𝑚1 ∙ 𝑚2 = -1
نرمز ب 𝑚1لميل المستقيم اللذي يمس الدالة (وهو غير معلوم) ونرمز ب 𝑚2لميل المستقيم المعامد له,
اي ان
𝑚2 = – 1
2
. لذلك يتحقق 𝑚1 ∙ 𝑚2 = -1 → 𝑚1 ∙ – 1
2
. = -1 → 𝑚1 = 2
الان نشتق الدالة: 𝑥 ,𝑓(𝑥) = 5𝑎𝑥4 + 9𝑥2 – 10حسب المعطيات يتحقق: ,𝑓(1) = 2
𝑓
(1) = 5𝑎 ∙ 14 + 9 ∙ 12 – 10 ∙ 1 = 2 → 𝑎 = 3
5
سؤال :6
معطى ان المستقيم 𝑏 + 𝑎𝑥 = 𝑦 يمس الدالة , 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1في
النقطة التي فيها
.𝑥 = -1
جد قيمة البارامترات 𝑏 و 𝑎.
الحل: في نقطة التماس يكون ميل الدالة مساوي لميل المماس اللذي يمس الدالة,
اي يتحقق:
𝑎 = ) . 𝑓(-1نشتق الدالة ونحصل على: , 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1الان نعوض
𝑥 = -1في المشتقة لكي نجد ميل الدالة ثم نساوي بين ميل الدالة وميل المستقيم, اي:

.𝑓(-1) = 2 ∙ (-1) + 1 = 𝑎 → 𝑎 = -1
الان بما ان المستقيم يمس الدالة في النقطة التي فيها 𝑥 = -1يتحقق ان الاحداثي 𝑦 للدالة وللمستقيم هو
نفس الاحداثي. اي يتحقق: ).𝑓(-1) = 𝑦(-1
𝑓(-1) = (-1)2 + (-1) + 1 𝑦(-1) = 𝑎 ∙ (-1) + 𝑏
𝑓(-1) = 𝑦(-1) (-1)2 + (-1) + 1 = 𝑎 ∙ (-1) + 𝑏

) → 𝑏 = 0وجدنا ان 1 = -𝑎 + 𝑏 → ( 𝑎 = -1
سؤال :7
معطى ان المستقيم 𝑏 + 𝑎𝑥 𝑦 = 5يمس الدالة 𝑓(𝑥) = 1
6
, 𝑥3 + 𝑎𝑥2 – 𝑥
في النقطة التي فيها .𝑥 = 1
جد قيمة البارامتر 𝑎.
الحل: في نقطة التماس يكون ميل الدالة مساوي لميل المماس اللذي يمس الدالة,
اي يتحقق:
𝑎 . 𝑓(1) = 5نشتق الدالة ونحصل على: 𝑓(𝑥) = 3
6
, 𝑥2 + 2𝑎𝑥 – 1الان
نعوض
𝑥 = 1في المشتقة لكي نجد ميل الدالة ثم نساوي بين ميل الدالة وميل المستقيم, اي:
𝑓(1) = 3
6
∙ (1)2 + 2𝑎 ∙ (1) – 1 = 5𝑎 → 𝑎 = – 1
6
.
سؤال :8
معطى ان ميل الدالة 𝑐 – , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥4 – 𝑏𝑥3في النقطتين
(1, -1), (- 1
2
,
5
16
) متساوي.
جد قيمة البارامترات
𝑐 , 𝑏 , 𝑎.
الحل: من المعطيات يمكن ان نستنتج ان النقطتين تحققان معادلة الدالة وان ميل الدالة في النقطتين
متساوي, اي يتحقق:
).𝑓 (- 1 2) = 16 5 , 𝑓(1) = -1 , 𝑓(1) = 𝑓(- 1 2
نشتق الدالة: 𝑓(𝑥) = 4𝑎𝑥3 – 3𝑏𝑥2الان نعوض النقاط التي فيها الميل متساوي,
𝑓(1) = 𝑓(- 1 2) → 4𝑎 ∙ (1)3 – 3𝑏 ∙ (1)2 = 4𝑎 ∙ (- 1 2)3 – 3𝑏 ∙ (- 1 2)2 → 2𝑎 = 𝑏
𝑓(1) = -1 → 𝑓(1) = 𝑎 ∙ (1)
4 – 𝑏 ∙ (1)3 – 𝑐 = -1 → 𝑎 – 𝑏 – 𝑐 = -1
𝑓 (- 1 2) = 16 5 → 𝑓 (- 1 2) = 𝑎 ∙ (- 1 2)4 – 𝑏 ∙ (- 1 2)3 – 𝑐 = 16 5 → 𝑎 + 2𝑏 – 16𝑐 = 5
من المعادلات الثلاث التي حصلنا عليها ينتج ان: . 𝑎 = 1 , 𝑏 = 2 , 𝑐 = 0
سؤال :9
معلوم ان ميل الدالة 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥5 + 1
2

𝑥 , في النقطة التي فيها 𝑥 = 0اصغر
ب 12مرة من ميلها في النقطة التي فيها .𝑥 = 1

جد قيمة البارامتر 𝑎.
الحل: من المعطيات نستنتج ان ).𝑓(1) = 12 ∙ 𝑓(0
نشتق الدالة: 𝑓(𝑥) = 5𝑎𝑥4 + 1
2
, ثم نعوض النقاط حسب المعادلة اعلاه, نحصل على:
𝑓(1) = 12 ∙ 𝑓(0) → 5𝑎 ∙ (1)4 + 1
2
= 12 ∙ (5𝑎 ∙ (0)4 + 1 2) → 𝑎 = 11 10
سؤال :10
معطاه الدالة 𝑎 = )𝑥(𝑓
3
𝑥3 + 𝑥2
4
+ 𝑥
8

1 3
, جد قيمة البارامتر 𝑎 التي يتحقق
فيها ان للدالة المعطاه توجد نقطة قصوى واحدة فقط.
الحل: في النقطة القصوى للدالة يجب ان يتحقق شرطين: الاول, مشتقة الدالة تساوي صفر: ,𝑓(𝑥) = 0
الثاني, ميل الدالة عن يمين النقطة مضاد لميل الدالة عن يسار النقطة ( موجب سالب او سالب موجب.)
نشتق الدالة:
𝑥 + 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2
2
+ 1
8
, ثم نساوي المشتقة لصفر, نحصل على:
𝑓(𝑥) = 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑥
, 2 + 1 8 = 0لكي نحصل على حل وحيد (نقطة قصوى واحدة فقط) يجب
ان تكون الدلتا تساوي صفر (لانها معادلة تربيعية) اي:
∆= 𝑏2 – 4𝑎𝑐 = 0 → (1 2)2 – 4𝑎 ∙ 1 8 = 0 → 𝑎 = 1 2
الان نعوض 𝑎 = 1
2
في المشتقة لكي نجد النقطة ونتحقق منها, هل هي قصوى ام لا؟
𝑓(𝑥) =
1 2
𝑥
2 + 𝑥
2 +
1 8
= 0 → 𝑥 = –
1 2

الان نفحص هل فعلا 𝑥 = – 1
2
هي نقطة قصوى؟ نفحص ذلك عن طريق تعويض نقاط اختبار في
المشتقة, نقطة قبل
𝑥 = – 1
2
ونقطة بعدها: نعوض النقاط 𝑥 = 0 , 𝑥 = -1في المشتقة:
𝑓(𝑥) =
1 2
𝑥
2 + 𝑥
2 +
1 8
→ 𝑓
(0) =
1 2
0
2 + 0
2 +
1 8
=
1 8
المشتقة موجبة
𝑓
(𝑥) =
1 2
𝑥
2 + 𝑥
2 +
1 8
→ 𝑓
(-1) =
1 2
(-1)
2 + (-1)
2 +
1 8
=
1 8
المشتقة موجبة
اي ان الدالة لا تغير تصرفها حول النقطة 𝑥 = – 1
2
(المشتقة لا تغير اشارتها) لذلك النقطة 𝑥 = – 1
2
ليست نقطة قصوى.
عند البحث عن حلول المعادلة
𝑥 + 𝑎𝑥2
2
+ 1
8
= 0كانت الفرضية ان 𝑎 ≠ 0لانة في حالة كان
𝑎 = 0لا يوجد لدينا معادلة تربيعية ولذلك لا توجد دلتا. اي ان الحل اعلاه هو عندما يتحقق .𝑎 ≠ 0
الان نفحص عندما يكون 𝑎 = 0نحصل على 𝑥 = )𝑥(𝑓
2 + 1 8نحل المعادلة :𝑓(𝑥) = 0
𝑓
(𝑥) = 0 →
𝑥 2
+
1 8
= 0 → 𝑥 = –
1 4
الان نفحص هل فعلا 𝑥 = – 1
4
هي نقطة قصوى؟ نفحص ذلك عن طريق تعويض نقاط اختبار في
المشتقة, نقطة قبل
𝑥 = – 1
4
ونقطة بعدها: نعوض النقاط 𝑥 = 0 , 𝑥 = -1في المشتقة:
𝑓(𝑥) =
𝑥 2
+
1 8
→ 𝑓
(0) =
0 2
+
1 8
=
1 8
المشتقة موجبة
𝑓
(𝑥) =
𝑥 2
+
1 8
→ 𝑓
(-1) =
(-1)
2 +
1 8
= –
3 8
المشتقة سالبة
اي ان الدالة تغير تصرفها حول النقطة 𝑥 = – 1
4
(المشتقة تغير اشارتها) لذلك النقطة 𝑥 = – 1
4
هي
نقطة قصوى. والقيمة
𝑎 = 0هي القيمة التي تحقق المطلوب في السؤال.

مواقع التواصل الاجتماعي

0FansLike
0FollowersFollow
0FollowersFollow
0SubscribersSubscribe

احدث المنشورات